Система пізнавальних завдань і матеріалів до теми «Квадратні рівняння», алгебра, 8 клас

«Історична палітра»:

• Необхідність розв'язування рівнянь другого степеня, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Вавилоняни вміли розв’язувати квадратні рівняння близько 2000 років до н.е. Серед клинописних текстів були знайдені приклади розв'язання неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до цього часу клинописних текстах збереглися лиш вказівки до знаходження коренів рівнянь, але не вказано, як вони були виведені. Однак, не зважаючи на розвиненість математики у ті часи, в цих текстах немає ані найменшої згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язування рівнянь.

•  В стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. н.е. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

•   Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду ax² + bx = c уперше сформулював індійський вчений Брахмагупта.

• Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь було сформульоване німецьким математиком М. Штифелем (1487-1567). Виведенням формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595-1632), а також Рене Декарта і Ісаака Ньютона спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

• Іспанський математик Паоло Вальмерс, який перший  розв’язав рівняння четвертого степеня, був відправлений за це на багаття

• Франсуа Вієт ледве не був спалений на вогні за те, що йому вдалося розшифрувати таємну переписку іспанської влади з командуванням своїх військ. На початку ХVІ ст. Іспанія вела війну із Францією. Іспанські інквізитори вважали, що розкрити їх шифр людина не може, а отже Вієту допомагав Сатана

• Кілька поколінь учителів математики та їх учнів набували педагогічного досвіду й поглиблювали свої знання, користуючись чудовою книжкою «Квадратні рівняння» блискучого українського педагога й математика Миколи Андрійовича Чайковського (1887-1790). М. А. Чайковський залишив велику наукову і педагогічну спадщину. Його роботи відомі далеко за межами України. Учений працював у комісії під керівництвом академіка М. Кравчука над українською математичною термінологією для словника та енциклопедії. Опублікував в академічному журналі статті «До теорії дискримінанта алгебраїчного рівняння», «Про зчисленність множини раціональних чисел», видав цінну для історії вітчизняної математики «Українську математичну наукову бібліографію (1894–1927)». У 1933 році академіка М. Кравчука і М. Чайковського за сфабрикованою справою було заарештовано й заслано в Сибір як «ворогів народу». Кравчук так і не повернувся з Колими, а М. Чайковський, відбувши 10-річне покарання в таборах, ще протягом 11 років працював на різних роботах у містах Росії, Казахстану і тільки в 1954 році повернувся в Україну.

• Розв'язування одного виду кубічного рівняння було відкрито талановитим узбецьким ученим з м.Самарканд Джемшидомаль-Паші (помер близько 1456 року). Геометричний метод розв'язування одного виду чисельного кубічного рівняння був відомий ще Архімеду.

• Алгебраїчний  метод розв’язування кубічного рівняння протягом багатьох століть залишався невідомим. Перший крок у цьому напрямі зробив на початку XVI століття італійський учений Сціліондель Феро. Він відшукав розв'язок рівняння х³+ах=b при a>0 і b>0. Розв’язання він повідомив  своєму учневі Фіорі. Той скористався цим секретом і викликав на математичний двобій талановитого вченого Нікколо Тарталью (1500-1557). Тарталья довідався, що Фіоре знає таємницю розв'язання кубічного рівняння, і за тиждень до двобою самостійно знайшов розв'язок рівняння більш загального виду x³+px=q, для будь-яких р і q.

• 12 лютого 1535 року, у день двобою, Тарталья розв'язав усі 30 задач Фіоре і переміг його. Ось формула Тартальї, записана в нашій символіці: рівняння виду х³+рх+q=0 має корінь

 

Усяке рівняння 3-го степеня може бути зведене за допомогою спеціальної підстановки до вигляду х³+рх+q=0. Свій спосіб Тарталья повідомив по секрету ученому Джероламо Кардано, який опублікував, його у своїй книзі «Велике мистецтво». З тих пір формула зветься «формулою Кардано».Учень Кардано, Людовіко Феррарі (1522-1565) знайшов формулу коренів рівняння 4-го степеня. Протягом XVII-XVIII століття багато математиків безуспішно намагалися знайти подібну формулу для розв'язання рівнянь 5, 6-го степеня і більш високих.На початку XIX століття норвезький математик Нільс Абель (1802-1829) довів, що рівняння п'ятого степеня і вищого в загальному вигляді нерозв'язні в радикалах (тобто не можна виразити їхні корені за допомогою шести дій: чотирьох арифметичних, піднесення до степеня та добування кореня). З чисто практичної точки зору не завжди обов'язкове знання точних коренів рівнянь вищих степенів. У науці розроблено численні методи наближеного розв'язання рівнянь.